谱理论：2025–2026 年度综述

对 arXiv math.SP 分类的年度综述，涵盖 2025 年 9 月 至 2026 年 8 月 期间发表的研究。本卷基于对 120 篇论文 的细读整理，组织为 44 章，按该领域的研究子方向描绘这一年的全貌。

全书框架（年度产出占比）：

• 算子的通用谱理论与散射 (21.8%) — 本聚类聚焦各种空间中一般与长程算子的抽象谱性质、散射理论与局域化现象。
• 区域上拉普拉斯算子的特征值界 (17.1%) — 研究聚焦几何区域上拉普拉斯算子的狄利克雷、诺伊曼与罗宾特征值的通用不等式、渐近行为与优化。
• 离散与分数阶算子的谱分析 (11.0%) — 本方向研究离散拉普拉斯算子、分数阶算子与格点上的狄拉克系统的谱不变量、点谱与输运性质。
• 谱图论与组合拉普拉斯算子 (10.0%) — 研究聚焦随机与周期图的谱、单纯复形上的 Hodge 拉普拉斯算子，以及图特征值与组合性质的联系。
• 矩阵与 Toeplitz 算子的谱性质 (9.5%) — 本聚类考察随机矩阵、Toeplitz 结构与雅可比系统中的特征值分布、收敛性与稳定性。
• 狄拉克算子的自伴性与谱 (7.7%) — 研究聚焦微分与离散设定中狄拉克与非自伴算子的本质自伴性、奇异势与谱分析。
• 双曲曲面上的谱隙与量子遍历性 (6.5%) — 本领域探索双曲曲面与随机流形在 Benjamini-Schramm 极限下的谱隙、量子混合与遍历性。
• 复势与周期势的薛定谔算子 (6.2%) — 聚焦具有复势、周期势或拟周期势的薛定谔算子的 Lieb-Thirring 不等式、输运现象与谱稳定性。
• Sturm-Liouville 系统的反谱问题 (5.8%) — 处理涉及 Sturm-Liouville 算子与透射特征值的反谱问题的唯一性、稳定性与重建方法。
• 有界区域与分形上的谱分析 (4.3%) — 研究有界平面区域、分形与声学介质上算子的谱转变、扭转刚度与预解估计。

每个子方向均通过三章展开论述——它如何提出自己的问题、其关键结论的强度，以及它开放的争论与前沿，从而让读者获得该领域今年实际产出的可溯源图景。