范畴论：2025–2026 年度综述

对 arXiv math.CT 分类的年度综述，涵盖 2025 年 9 月 至 2026 年 8 月 期间发表的研究。本卷基于对 120 篇论文 的细读整理，组织为 44 章，按该领域的研究子方向描绘这一年的全貌。

全书框架（年度产出占比）：

• 范畴量子力学与组合系统 (19.7%) — 本子领域应用范畴框架（包括余代数与高阶范畴）建模量子相干、贝叶斯推断与混合动力系统。
• 拓扑空间与范畴对偶结构 (16.0%) — 本领域探索拓扑空间、locale 与范畴结构（如 Priestley 对偶与等变网络）之间的相互作用。
• 阿贝尔范畴与精确结构理论 (14.5%) — 本方向研究阿贝尔与三角范畴的结构性质，聚焦精确完备化、簇结构与模范畴。
• Hopf 代数与范畴代数结构 (10.4%) — 本子领域研究 Hopf 代数、李代数及其范畴推广，包括双代数胚与双范畴中的余代数模型。
• 外三角范畴与同伦代数 (8.3%) — 本领域聚焦外三角范畴、Gorenstein 包络与高阶代数框架中的同伦语言的结构。
• 幺半范畴与弦图重写 (8.0%) — 本方向考察对称幺半范畴、分配律，以及弦图重写与不确定性建模的算法方法。
• 高阶范畴与同伦相干结构 (6.9%) — 本子领域发展 (∞,1)-范畴、运算与稳定同伦型理论，应用于等变与动机背景。
• 同伦类型论与合成数学 (6.1%) — 本领域连接范畴论与类型论，聚焦单纯类型、合成同伦与局部笛卡尔闭范畴的内部语言。
• 张量三角几何与谱理论 (5.3%) — 本方向应用张量三角几何分类三角范畴中的张量理想与谱，扩展 Balmer 框架。
• 双范畴与高阶范畴框架 (4.8%) — 本子领域探索双范畴、松弛函子及其在开放系统与公理化量子场论中的应用。

每个子方向均通过三章展开论述——它如何提出自己的问题、其关键结论的强度，以及它开放的争论与前沿，从而让读者获得该领域今年实际产出的可溯源图景。